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【題目】已知橢圓的離心率為，分別為橢圓的左，右焦點，直線過點與橢圓交于兩點，當直線的斜率為時，線段的長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點且與直線垂直的直線與橢圓交于兩點，求四邊形面積的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據離心率可求得之間關系；可知斜率為時，與上頂點重合，設，結合橢圓定義和可構造方程求得，進而得到，從而求得，得到橢圓標準方程；

（2）當直線斜率不存在或斜率為時，易求得四邊形面積為；當直線斜率為時，假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式可求得；將換作可得到，進而得到四邊形面積，利用基本不等式可求得最小值，與對比后可得結果.

（1）由題意得：，，.

當直線斜率為時，與上頂點重合，，，

設，則，

，即，解得：，

，解得：，，

橢圓的方程為.

（2）由（1）知：.

當直線斜率不存在或斜率為時，四邊形面積為；

當直線斜率為時，

設直線的方程為：，，，

則直線的方程為：，

將直線代入橢圓的方程得：，

，

，

將換作可得：.

四邊形面積（當且僅當，即時取等號），

，四邊形面積最小值為.

練習冊系列答案
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