Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=3，滿足S_n=6-2a_n+1（n∈N^*），
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表達式；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明（2）的猜想．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，分別令n=2和n=3，4，能夠得到a₂，a₃，a₄的值
（2）由前幾項猜想猜想an=

3

2n-1

（n∈N^*）；
（3）先證n=1時，命題成立；再利用假設(shè)及遞推關(guān)系證明n=k+1時，命題成立．

解答：解：（1）因為a₁=3，且S_n=6-2a_n+1（n∈N^*），所以S₁=6-2a₂=a₁=3
解得a2=

3

2

，…（理（2分），文3分）
又S2=6-2a3=a1+a2=3+

3

2

，
解得a3=

3

4

…（理（3分），文6分）
S3=6-2a4=a1+a2+a3=3+

3

2

+

3

4

，
所以有a4=

3

8

…（理（5分），文9分）
（2）由（1）知a₁=3=

3

20

，a2=

3

2

=

3

21

，a3=

3

4

=

3

22

，a4=

3

8

=

3

23

猜想an=

3

2n-1

（n∈N^*）…（理（9分），文14分）
（3）①由（1）已得當(dāng)n=1時，命題成立；…（理10分）
②假設(shè)n=k時，命題成立，即 a_k=

3

2k-1

，…（理11分）
當(dāng)n=k+1時，S_k=6-2a_k+1（k∈N^*）a₁+a₂+…+a_k=6-2a_k+1
即3+

3

2

+

3

4

+…+

3

2k-1

=6-2a_k+1
a_k+1=

3

2k

，
即當(dāng)n=k+1時，命題成立．…（理13分）
根據(jù)①②得n∈N⁺，a_n=

1

2n-1

都成立…（理14分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，注意數(shù)列遞推式的合理運用，考查數(shù)學(xué)歸納法思想的運用．