如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

（Ⅰ）求證：平面BCD；

（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求點E到平面ACD的距離．

(1)證明見解析(2)  (3)


解析:

方法一：⑴．證明：連結(jié)OC

     ………… 1分

    ，． ……… 2分

    在中，由已知可得 … 3分

而，     …………………  4分

    即  …………………  5分

    ∴平面．   ……………………………  6分

⑵．解：取AC的中點M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為

BC的中點知，

∴　直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，…………… 8分

在中，  

是直角斜邊AC上的中線，∴ ……………9分

∴，    ……………………… 10分

∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為． …………………………  11分

⑶．解：設(shè)點E到平面ACD的距離為． ，  ………………………………………………12分

    在中，,

    ,而，．

    ∴，   ∴點E到平面ACD的距離為  …14分

    方法二：⑴．同方法一．

    ⑵．解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

   

    ，    ……………   9分

   

∴ 異面直線AB與CD所成角的余弦值為．……   10分

    ⑶．解：設(shè)平面ACD的法向量為則

    ，

∴，令得是平面ACD的一個法向量．

    又 ∴點E到平面ACD的距離  ．…14分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點，G，H分別為DE，AF的中點，將△ABC沿DE，EF，DF折成正四面體P-DEF，則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點，G，H分別為DE，AF的中點，將△ABC沿DE，EF，DF折成正四面體P-DEF，則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四面體ABCD中，BC⊥面ACD，DA=DC，E、F分別為AB、AC的中點．
（1）求證：直線EF∥面BCD；
（2）求證：面DEF⊥面ABC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•武漢模擬）如圖，在四面體A-BCD中，AB=AD=
2
，BD=2，DC=1，且BD⊥DC，二面角A-BD-C大小為60°．
（1）求證：平面ABC上平面BCD；
（2）求直線CD與平面ABC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四面體ABCD中，DA=DB=DC=1，且DA，DB，DC兩兩互相垂直，點O是△ABC的中心，將△DAO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DA與BC所成角的余弦值的取值范圍是（　�。�
A、[0， 
6
3
]
B、[0， 
3
2
]
C、[0， 
2
2
]
D、[0， 
3
3
]

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