Question

已知橢圓與x軸相切，兩個焦點坐標(biāo)為F₁（1，1），F(xiàn)₂（5，2），則其長軸長為    ．

Answer 1

【答案】分析：依題意可得該橢圓的中心M（3，），2c=，從而可得b²=a²-，設(shè)橢圓方程為+=1，令y=0，整理成關(guān)于x的一元二次方程，依題意，只需△=0即可求得a，從而可得2a．
解答：解：∵分別過F₁（1，1），F(xiàn)₂（5，2），向x軸作垂線交x軸為A，B，
設(shè)M是橢圓和x軸切點，過M做垂線交F₁F₂于Q，連接F₁M，F(xiàn)₂M，延長F₂F₁交x軸為K，
則K點坐標(biāo)為K（-3，0）且tan∠F₂KM=（斜率）
由于∠F₁MQ=∠QMF₂（橢圓的光學(xué)性質(zhì)，入射角等于反射角．）
所以△F₁MA∽△F₂MB，相似比為λ=2，
∴M坐標(biāo)為（，0）
故|F₂M|=2|F₁M|，
∴長軸2a=|F₁M|+|F₂M|=+=+=5
故答案為：5．
點評：本題考查橢圓的方程與橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用，利用△=0是解決問題的關(guān)鍵，也是思維的難點，考查分析、轉(zhuǎn)化與解決問題的能力，屬于中檔題．