Question

【題目】

已知函數(shù) 有極值，且函數(shù)的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值）

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的最小值為，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）， （2）見(jiàn)解析

【解析】

試題（1）先分別求兩函數(shù)極值點(diǎn)，再根據(jù)條件得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；最后求自變量取值范圍（2）先研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況，僅有一個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律確定最小值，最后再利用導(dǎo)數(shù)求最小值函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性證明不等式

試題解析：（1）因?yàn)?/span> ，令，解得．

列表如下．

		極小值

所以時(shí)， 取得極小值．

因?yàn)?/span>，

由題意可知，且

所以，

化簡(jiǎn)得，

由 ，得．

所以， ．

（2）因?yàn)?/span> ，

所以

記，則，令，解得．

列表如下．

		極小值

所以時(shí)， 取得極小值，也是最小值，

此時(shí)， ．

令，解得．

列表如下．

		極小值

所以時(shí)， 取得極小值，也是最小值．

所以

．

令，則，

記 ， ，

則， ．

因?yàn)?/span>， ，所以，所以單調(diào)遞增．

所以，所以．