Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，橢圓的離心率e=

3

2

，過F₁的直線交橢圓于M，N兩點，且△MNF₂的周長為8
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的周長和橢圓的定義求得a，進而根據(jù)離心率求得c，則b可求，橢圓的方程可得．
（2））①設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線與橢圓方程聯(lián)立根據(jù)判別式大于0求得k和t的不等式關(guān)系，利用偉大定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而表示出

OA

和

OB

，根據(jù)OA⊥OB推斷

OA

•

OB

=0求得k和t的關(guān)系式，繼而根據(jù)為直線y=kx+t為圓心在原點的圓的一條切線，求得圓的半徑，圓的方程可得．
②當(dāng)切線的斜率不存在時，則可求得切線方程與橢圓方程聯(lián)立求得交點，進而判定存在圓心在原點的圓x2+y2=

4

5

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B．

解答：解：（1）據(jù)題意，∵△MNF₂的周長為8，故4a=8，∴a=2
又e=

c

a

=

3

2

，∴a2=4，b2=1，c2=3，∴橢圓方程

x2

4

+y2=1．
（2）①設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解方程組

y=kx+t x2 4 +y2=1

得x2+4(kx+t)2=4，即(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0，
要使切線與橢圓恒有兩個交點A，B，
則使△64k²t2-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0
即4k2-t2+1＞0，即t2＜4k2+1，且

x1+x2=- 8kt 1+4k2 x1x2= 4t2-4 1+4k2

，y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=

k2(4t2-4)

1+4k2

-

8k2t2

1+4k2

+t2=

t2-4k2

1+4k2

，
要使

OA

⊥

OB

，需使x1x2+y1y2=0，即

4t2-4

1+4k2

+

t2-4k2

1+4k2

=

5t2-4k2-4

1+4k2

=0，
所以5t²-4k²-4=0，即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1，即4k²+4＜20k²+5恒成立．
又因為直線y=kx+t為圓心在原點的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=

|t|

1+k2

，r2=

t2

1+k2

=

4 5 (1+k2)

1+k2

=

4

5

，所求的圓為x2+y2=

4

5

.
②當(dāng)切線的斜率不存在時，
切線為x=±

2

5

5

，與

x2

4

+y2=1交于點(

2

5

5

，±

2

5

5

)或(-

2

5

5

，±

2

5

5

)滿足．
綜上，存在圓心在原點的圓x2+y2=

4

5

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B．

點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．涉及了直線與橢圓的關(guān)系，考查了學(xué)生運用所學(xué)知識綜合分析問題的能力．