Question

已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（0，-1），（0，1），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）．
（1）求頂點C的軌跡E的方程，并判斷軌跡E為何種圓錐曲線；
（2）當m=-

1

2

時，過點F（1，0）的直線l交曲線E于M，N兩點，設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為Q（M，Q不重合） 試問：直線MQ與x軸的交點是否為定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出頂點C的坐標，由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）列式整理得到頂點C的軌跡E的方程，然后分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線；
（2）把m=-

1

2

代入E得軌跡方程，由題意設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出M，N兩點的橫坐標的和與積，由兩點式寫出直線MQ的方程，取y=0后求出x，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可求得x=2，則得到直線MQ與x軸的交點是定點，并求出定點．

解答：解：（1）設(shè)點C（x，y），由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），
得：

y-1

x

•

y+1

x

=m，化簡得：-mx²+y²=1（x≠0）．
當m＜-1時，軌跡E表示焦點在y軸上的橢圓，且除去（0，1），（0，-1）兩點；
當m=-1時，軌跡E表示以（0，0）為圓心，半徑是1的圓，且除去（0，1），（0，-1）兩點；
當-1＜m＜0時，軌跡E表示焦點在x軸上的橢圓，且除去（0，1），（0，-1）兩點；
當m＞0時，軌跡E表示焦點在y軸上的雙曲線，且除去（0，1），（0，-1）兩點．
（2）當m=-

1

2

時，曲線E的方程為

x2

2

+y2=1 (x≠0)．
由題意可知直線l的斜率存在切不等于0，則可設(shè)l：y=k（x-1），
再設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂） （x₁≠x₂）．
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
∵M，Q不重合，則x₁≠x₂，y₁≠-y₂．
∴MQ所在直線方程為y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，
令y=0，得x=x1+

y1(x2-x1)

y1+y2

=x1+

k(x1-1)(x2-x1)

k(x1+x2-2)

=

2x1x2-(x1+x2)

x1+x2-2

=

2• 2k2-2 1+2k2 - 4k2 1+2k2

4k2 1+2k2 -2

=2．
∴直線MQ過定點（2，0）．

點評：本題考查了與直線有關(guān)的動點軌跡方程，考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，涉及直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求解，從而簡化解題過程，此類問題是高考試題中的壓軸題．