用數(shù)學歸納法證明,若f(n)=1++…+,則n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N+).

答案:
解析:

  思路解析:(1)當n=2時,左邊=2+f(1)=2+1=3,

  右邊=2·f(2)=2×(1+)=3,左邊=右邊,等式成立.

  (2)假設n=k時等式成立,即

  k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k).

  由已知條件可得f(k+1)=f(k)+,

  右邊=(k+1)·f(k+1)(先寫出右邊,便于左邊對照變形).

  當n=k+1時,左邊=(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)

 。絒k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)]+1+f(k)(湊成歸納假設)

 。絢f(k)+1+f(k)(利用假設)

 。(k+1)·f(k)+1

 。(k+1)·[f(k+1)-]+1

 。(k+1)·f(k+1)=右邊.

  ∴當n=k+1時,等式也成立.

  由(1)(2)可知,對一切n≥2的正整數(shù)等式都成立.


練習冊系列答案
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某學生在觀察正整數(shù)的前n項平方和公式即12+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
,n∈N*時發(fā)現(xiàn)它的和為關于n的三次函數(shù),于是他猜想:是否存在常數(shù)a,b,1•22+2•32+…+n(n+1)2=
n(n+1)(n+2)(an+b)
12
.對于一切n∈N*都立?
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an2+34
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(2)用數(shù)學歸納法證明:若a1為奇數(shù),則對一切n≥2,an都是奇數(shù);
(3)若對一切n∈N*,都有an+1>an,求a1的取值范圍;
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