Question

（12分）橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 ,是橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足。

（1）求離心率e的取值范圍；

（2）當(dāng)離心率e取得最小值時(shí)，點(diǎn)N( 0 , 3 )到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為。

(i)求此時(shí)橢圓C的方程；

(ii)設(shè)斜率為的直線(xiàn)l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，問(wèn)A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過(guò)點(diǎn)P（0，）、Q的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？若能，求出的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解：(1)、由幾何性質(zhì)知的取值范圍為：≤e＜1………………3分

(2)、(i) 當(dāng)離心率e取最小值時(shí)，橢圓方程可表示為+ = 1 。設(shè)H( x , y )是橢圓上的一點(diǎn)，則| NH |² =x²+(y-3)² = - (y+3)²+2b²+18 ，其中 - b≤y≤b

若0＜b＜3 ，則當(dāng)y = - b時(shí)，| NH |²有最大值b²+6b+9 ，所以由b²+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去) …………………5分

若b≥3，則當(dāng)y = -3時(shí)，| NH |²有最大值2b²+18 ，所以由2b²+18=50解得b²=16

∴所求橢圓方程為+ = 1………………7分

(ii) 設(shè) A( x₁ , y₁ ) ，B( x₂ , y₂ )，Q( x₀ , y₀ )，則由兩式相減得x₀+2ky₀=0；……8分

又直線(xiàn)PQ⊥直線(xiàn)l，∴直線(xiàn)PQ的方程為y= - x - ，將點(diǎn)Q( x₀ , y₀ )坐標(biāo)代入得y₀= - x₀- ………②　　……9分

由①②解得Q( - k ,  )，而點(diǎn)Q必在橢圓的內(nèi)部

∴ + < 1，…… 10分，  由此得k² < ，又k≠0 ∴ - < k < 0或0 < k <

故當(dāng)( - , 0 ) ∪( 0 , )時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于過(guò)點(diǎn)P、Q、的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。…………12分