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已知數列{an}的前n項和Sn=n2+2n
(1)求數列{an}的通項公式.
(2)設Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
,求證:Tn
1
6
分析:(1)再寫一式,兩式相減,可得數列{an}的通項公式.
(2)利用裂項法求出數列的和,即可證得結論.
解答:(1)解:∵Sn=n2+2n
∴n≥2時,Sn-1=(n-1)2+2(n-1)
兩式相減可得an=2n+1
∵n=1時,a1=S1=3滿足上式
∴an=2n+1…(6分)
(2)證明:∵
1
anan+1
=
1
(2n+1)(2n+3)
=
1
2
(
1
2n+1
-
1
2n+3
)
…(9分)
Tn=
1
2
[(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)+…+(
1
2n+1
-
1
2n+3
)]
=
1
2
(
1
3
-
1
2n+3
)<
1
6
…(12分)
點評:本題考查數列的通項,考查不等式的證明,確定數列的通項,正確求和是關鍵.
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