Question

已知數列{a_n}的前n項和Sn=n2+2n
（1）求數列{a_n}的通項公式．
（2）設Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，求證：Tn＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}的通項公式．
（2）利用裂項法求出數列的和，即可證得結論．

解答：（1）解：∵Sn=n2+2n，
∴n≥2時，Sn-1=(n-1)2+2(n-1)
兩式相減可得a_n=2n+1
∵n=1時，a₁=S₁=3滿足上式
∴a_n=2n+1…（6分）
（2）證明：∵

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)…（9分）
∴Tn=

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)＜

1

6

…（12分）

點評：本題考查數列的通項，考查不等式的證明，確定數列的通項，正確求和是關鍵．