Question

甲、乙兩人進(jìn)行一項游戲比賽，比賽規(guī)則如下：甲從區(qū)間[0，1]上隨機(jī)等可能地抽取一個實數(shù)記為b，乙從區(qū)間[0，1]上隨機(jī)等可能地抽取一個實數(shù)記為c（b，c可以相等），若關(guān)于x的方程x²+2bx+c=0有實根，則甲獲勝，否則乙獲勝．
（Ⅰ）求一場比賽中甲獲勝的概率；
（Ⅱ）設(shè)n場比賽中，甲恰好獲勝k場的概率為P_n^k，求

n

k=0

k

n

Pnk的值．
（Ⅲ）若n=8時，k為何值時，P_n^k取到最大值．（不必證明）

Answer 1

考點：n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）關(guān)于x的方程x²+2bx+c=0有實根，等價于△=4b²-4c≥0，即 b²≥c．由此求得一場比賽中甲獲勝的概率為

∫ 1 0  b 2db

1×1

，計算求得結(jié)果．
（Ⅱ）設(shè)n場比賽中，甲恰好獲勝k場的概率P_n^k =

C

k n

•(

1

3

)k•(

2

3

)n-k，根據(jù)

C

r n

•

r

n

=

n!

r!(n-r)!

•

r

n

=

(n-1)!

(r-1)!(n-r)!

=

C

r-1 n-1

（r≥1），當(dāng)r=0時，

C

r n

•

r

n

=0，可得

n

k=0

k

n

Pnk=

1

3

•( 

2

3

+

1

3

)n-1，計算求得結(jié)果．
（Ⅲ）根據(jù) n=8時，P_n^k取到最大值，由

C

k 8

•(

1

3

)k•(

2

3

)8-k≥

C

k+1 8

•(

1

3

)k+1•(

2

3

)7-k，且

C

k 8

•(

1

3

)k•(

2

3

)8-k≥

C

k-1 8

•(

1

3

)k-1•(

2

3

)9-k，k∈N，求得k的值．

解答： 解：（Ⅰ）關(guān)于x的方程x²+2bx+c=0有實根，等價于△=4b²-4c≥0，即 b²≥c．
故一場比賽中甲獲勝的概率為

∫ 1 0  b 2db

1×1

=

1

3

．
（Ⅱ）設(shè)n場比賽中，甲恰好獲勝k場的概率P_n^k =

C

k n

•(

1

3

)k•(

2

3

)n-k，
∴

n

k=0

k

n

Pnk=

C

0 n

•

0

n

•(

1

3

)0•(

2

3

)n+

C

1 n

•

1

n

•(

1

3

)1•(

2

3

)n-1+…+

C

k n

•

k

n

(

1

3

)k•(

2

3

)n-k+…+

C

n n

•

n

n

•(

1

3

)n，
又 

C

r n

•

r

n

=

n!

r!(n-r)!

•

r

n

=

(n-1)!

(r-1)!(n-r)!

=

C

r-1 n-1

（r≥1），當(dāng)r=0時，

C

r n

•

r

n

=0．
∴

n

k=0

k

n

Pnk=

C

0 n-1

•(

1

3

)0•(

2

3

)n-1+

C

1 n-1

•(

1

3

)1•(

2

3

)n-2+…+…+

C

n-1 n-1

•(

1

3

)n-1=

1

3

•( 

2

3

+

1

3

)n-1=

1

3

．
（Ⅲ）∵n=8時，P_n^k =

C

k 8

•(

1

3

)k•(

2

3

)8-k，到最大值若n=8時，k為何值時，P_n^k取到最大
由=

C

k 8

•(

1

3

)k•(

2

3

)8-k≥

C

k+1 8

•(

1

3

)k+1•(

2

3

)7-k，且

C

k 8

•(

1

3

)k•(

2

3

)8-k≥

C

k-1 8

•(

1

3

)k-1•(

2

3

)9-k，k∈N，
解得 k=2，或 k=3．

點評：本題主要考查n次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，二項式定理的應(yīng)用，屬于中檔題．