Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點為A，右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于 B、C 兩點，且AB⊥AC，|BC|=6．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過F的直線l交雙曲線左支D點，右支E點，P為DE的中點，若以AF為直徑的圓恰好經(jīng)過P點，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知易得a+c=6，2×

c2-a2

a

=6，解出a，b，c值后，可得雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），代入3x²-y²=3，利用韋達定理，結(jié)合向量垂直的充要條件，可求出k值，進而得到直線l的方程．本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，雙曲線的簡單性質(zhì)，聯(lián)立方程，設(shè)而不求，韋達定理，是解答此類問題的三架馬車．

解答：解 （1）∵AB⊥AC，BC⊥x軸，|BC|=6，
∴AF=a+c=6，
直線BC：x=c，代入

x2

a2

-

y2

b2

=1，得：y²=

(c2-a2)2

a2

，B（c，

c2-a2

a

），C（c，-

c2-a2

a

）．
∴

a+c=3 2 c2-a2 a =6

∴a=1，c=2，從而b²=3
所求雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），代入3x²-y²=3，得：（3-k²） x²+4k²x-4k²-3=0D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）由題意x₁x₂=

-4k2-3

3-k2

＜0，∴-

3

＜k＜

3

x₁₊x₂=

-4k2

3-k2

，y₁+y₂=k（x₁₊x₂）-4 k=

-12k

3-k2

∵P為DE的中點，∴P（

-2k2

3-k2

，

-6k

3-k2

），A（-1，0），F(xiàn)（2，0）
又∵以AF為直徑的圓恰好經(jīng)過P點，∴

AP

•

FP

=0
（

-2k2

3-k2

+1，

-6k

3-k2

）（

-2k2

3-k2

-2，

-6k

3-k2

）=0，
（

-2k2

3-k2

+1）（ 

-2k2

3-k2

-2）+（

-6k

3-k2

）²=0，化簡得54k²=18，k=±

3

3

此時直線l的方程y=±

3

3

（x-2）．

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，雙曲線的簡單性質(zhì)，聯(lián)立方程，設(shè)而不求，韋達定理，是解答此類問題的三架馬車．