Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+1，x∈[-5，5]．
（Ⅰ）若y=f（x）在[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a取值范圍．
（Ⅱ）求y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上的最小值．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的對稱軸，（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+2ax+1，x∈[-5，5]的對稱軸為x=-a，
（Ⅰ）若y=f（x）在[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，
則-a≤-5或-a≥5，即a≤-5或a≥5．
（Ⅱ）①-a≤-5，即a≥5時，f（x）在[-5，5]上單調(diào)遞增，
f（x）的最小值是f（-5）=26-10a，
②-a≥5，即a≤-5時，f（x）在[-5，5]上單調(diào)遞減，
f（x）的最小值是f（5）=26+10a，
③-5＜-a＜5，即-5＜a＜5時，f（x）在[-5，-a]上單調(diào)遞減，f（x）在（-a，5]上單調(diào)遞增，
f（x）的最小值是f（-a）=-a²+1．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．