Question

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線x=-

p

2

-1（p是正常數(shù)）的距離為d₁，到點(diǎn)F(

p

2

，0)的距離為d₂，且d₁-d₂=1．（1）求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程；
（2）直線l 過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B，分別過A、B點(diǎn)作直線l1：x=-

p

2

的垂線，對(duì)應(yīng)的垂足分別為M、N，求證=

FM

•

FN

=0；
（3）記S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FEN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），λ=

S 2 2

S1S3

，求λ 的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P（x，y），依據(jù)題意，有|x+

p

2

+1|-

(x- p 2 )2+y2

=1，化簡(jiǎn)得y²=2px，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程．
（2）由題意可知，當(dāng)過點(diǎn)F的直線l（3）的斜率為0時(shí)，不合題意，故設(shè)直線l：x=my-1，聯(lián)立方程

y2=2px x=my+ p 2

，可化為y²-2mpy-p²=0，再由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
（3）依據(jù)x₁+x₂=m（y₁+y₂）+p=2m²p+p，x1x2=

y 2 1

2p

•

y 2 2

2p

=

p2

4

，知S1S3=

1

2

(x1+

p

2

)|y1|•

1

2

(x2+

p

2

)|y2|=

p2

4

•[x1x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

]=

1

4

p4(m2+1)，

S

2 2

=(

1

2

|y1-y2|•p)2=

p2

4

[(y1+y2)2-4y1y2]=p⁴（1+m²）．由此能得到λ 的值．

解答：解　（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P（x，y），（1分）
依據(jù)題意，有|x+

p

2

+1|-

(x- p 2 )2+y2

=1，化簡(jiǎn)得y²=2px．（4分）
因此，動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程是：y²=2px．（6分）
（2）由題意可知，當(dāng)過點(diǎn)F的直線l（3）的斜率為0時(shí)，不合題意，
故可設(shè)直線l：x=my-1，如圖所示．（8分）
聯(lián)立方程組

y2=2px x=my+ p 2

，可化為y²-2mpy-p²=0，
則點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標(biāo)滿足

y1+y2=2mp y1y2=-p2

．（10分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得點(diǎn)M(-

p

2

，y1)、N(-

p

2

，y2)．
于是，

FM

=(-p，y1)，

FN

=(-p，y2)，
因此

FM

•

FN

=(-p，y1)•(-p，y2)=p2+y1y2=0．（12分）
（3）依據(jù)（2）可算出x₁+x₂=m（y₁+y₂）+p=2m²p+p，x1x2=

y 2 1

2p

•

y 2 2

2p

=

p2

4

，
則S1S3=

1

2

(x1+

p

2

)|y1|•

1

2

(x2+

p

2

)|y2|=

p2

4

•[x1x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

]=

1

4

p4(m2+1)，

S

2 2

=(

1

2

|y1-y2|•p)2=

p2

4

[(y1+y2)2-4y1y2]=p⁴（1+m²）．（16分）
所以，λ=

S 2 2

S1S3

=4即為所求．（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線 和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．