如圖所示,已知拋物線E:y2=x與圓M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn).

(1)r的取值范圍;

(2)當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí),求對(duì)角線ACBD的交點(diǎn)P的坐標(biāo).

 

【答案】

1,4 2,0

【解析】

:(1)y2=x代入(x-4)2+y2=r2,

并化簡(jiǎn)得x2-7x+16-r2=0,

EM有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有兩個(gè)不等的正根x1,x2,

由此得

解得<r2<16.

r>0,

所以r的取值范圍是,4.

(2)不妨設(shè)EM的四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為:

A(x1,)、B(x1,-)、C(x2,-)、D(x2,).

則直線ACBD的方程分別為

y-=·(x-x1),

y+=(x-x1),

解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0).

設(shè)t=,

t=(1)0<t<.

由于四邊形ABCD為等腰梯形,

因而其面積S=(2+2)·|x2-x1|.

S2=(x1+x2+2)[(x1+x2)2-4x1x2].

x1+x2=7,=t代入上式,

并令f(t)=S2,

f(t)=(7+2t)2·(7-2t)0<t<.

求導(dǎo)數(shù),f(t)=-2(2t+7)(6t-7),

f(t)=0t=,t=-(舍去),

當(dāng)0<t<時(shí),f(t)>0;

當(dāng)<t<時(shí),f(t)<0.

故當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí),f(t)有最大值,

即四邊形ABCD的面積最大.

故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為,0.

 

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x2
a2
+
y2
b2
=1
的右焦點(diǎn)F,且兩條曲線的交點(diǎn)連線也過(guò)焦點(diǎn)F,則該橢圓的離心率為
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2
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+
y2
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=1
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