Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+2x²+ax+b，g（x）=e^x（cx+d），且函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），若曲線f（x）和g（x）都過點A（0，2），且在點A 處有相同的切線y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥-2時，mg（x）≥f′（x）-2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（I）對f（x），g（x）進行求導，已知在交點處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），從而解出a，b，c，d的值；
（II）令φ（x）=2me^x（x+1）-x²-4x-2，求出導函數(shù)，令φ'（x）=0得x₁=-lnm，x₂=-2，通過對m的討論，確定函數(shù)的單調性，可得最值，即可求出m的范圍．

解答： 解：（I）由已知得f（0）=2，g（0）=2，f'（0）=4，g'（0）=4，
而f'（x）=x²+4x+a，g'（x）=e^x（cx+d+c）
故b=2，d=2，a=4，c=2…（4分）
（Ⅱ）令φ（x）=2me^x（x+1）-x²-4x-2，
則φ'（x）=2me^x（x+2）-2x-4=2（x+2）（me^x-1）
因φ（0）≥0，則m≥1
令φ'（x）=0得x₁=-lnm，x₂=-2…（6分）
（1）若1≤m＜e²，則-2＜x₁≤0，從而x∈（-2，x₁）時φ'（x）＜0；當x∈（x₁，+∞）時φ'（x）＞0，即φ（x）在 （-2，x₁）單調遞減，在（x₁，+∞）單調遞增，故φ（x）在[-2，+∞）的最小值φ（x₁），φ(x1)=2mex1(x1+1)-

x

2 1

-4x1-4=2x1+2-

x

2 1

-4x1-2=-

x

2 1

-2x1=-x1(x1+2)≥0
故當x≥-2時φ（x）≥0，即mg（x）≥f'（x）+2恒成立．   …（8分）
（2）若m=e²，則φ'（x）=2e²（x+2）（e^x-e^-2），從而當x≥-2時φ'（x）≥0，即φ（x）在[-2，+∞）單調遞增，而φ（-2）=0，故當x≥-2時φ（x）≥0，即mg（x）≥f'（x）+2恒成立．
（3）若m＞e²，則φ（-2）=-2me^-2+2=-2e^-2（m-e²）＜0，從而當x≥-2時，mg（x）≥f'（x）+2不可能恒成立．       …（11分）
綜上：m的取值范圍是[1，e²]…（12分）

點評：此題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，解題的關鍵是能夠利用導數(shù)工具研究函數(shù)的性質，此題是一道中檔題．