【題目】已知橢圓E: 的左、右焦點分別為F1 , F2 , 左、右頂點分別為A,B.以F1F2為直徑的圓O過橢圓E的上頂點D,直線DB與圓O相交得到的弦長為 .設(shè)點P(a,t)(t≠0),連接PA交橢圓于點C,坐標原點為O.

(I)求橢圓E的方程;
(II)若三角形ABC的面積不大于四邊形OBPC的面積,求|t|的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)因為以F1,F(xiàn)2為直徑的圓O過點D,所以b=c,則圓O的方程為x2+y2=b2

又a2=b2+c2,所以 ,直線DB的方程為 ,直線DB與圓O相交得到的弦長為 ,

,所以b=1, ,

所以橢圓E的方程為

(Ⅱ)由已知得: ,b=1,橢圓方程為 ,

設(shè)直線PA的方程為 ,由

整理得 ,

解得: ,則點C的坐標是 ,

故直線BC的斜率為 ,由于直線OP的斜率為 ,

所以kBCkOP=﹣1,所以O(shè)P⊥BC.

所以 , ,所以 ,

整理得2+t2≥4, ,所以


【解析】(Ⅰ)由題意可知:b=c,則 ,則直線DB的方程為 ,由題意可知 ,即可求得b及a的值,求得橢圓方程;(2)設(shè)直線PA的方程為 ,代入橢圓方程,求得C點坐標,直線BC的斜率為 ,由于直線OP的斜率為 ,可得OP⊥BC,分別求得三角形ABC的面積及四邊形OBPC的面積由 ,即可求得丨t丨取值范圍,即可求得|t|的最小值.

練習冊系列答案
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A.
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