【題目】如圖，已知正四棱錐P﹣ABCD中，PA=AB=2，點(diǎn)M，N分別在PA，BD上，且 = ．
（1）求異面直線MN與PC所成角的大��；
（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．

【答案】
（1）解：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，AB=PA=2．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

， ， 方向分別是x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．

則A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…（2分）

設(shè)P（0，0，p），則 =（﹣1，1，p），又AP=2，

∴1+1+p2=4，∴p= ，

∵ = = =（ ），

=（ ），

∴ =（﹣1，1，﹣ ）， =（0， ，﹣ ），

設(shè)異面直線MN與PC所成角為θ，

則cosθ= = = ．

θ=30°，

∴異面直線MN與PC所成角為30°


（2）解： =（﹣1，1，﹣ ）， =（1，1，﹣ ）， =（ , ，﹣ ），

設(shè)平面PBC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（0， ，1），

設(shè)平面PNC的法向量 =（a，b，c），

則 ，取c=1，得 =（ ，2 ，1），

設(shè)二面角N﹣PC﹣B的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值為 ．


【解析】（1）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，AB=PA=2．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 方向分別是x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．利用向量法能求出異面直線MN與PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面為菱形，側(cè)面為等邊三角形，且側(cè)面底面， ， 分別為， 的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： .

（Ⅱ）求證：平面平面.

（Ⅲ）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為、，離心率.過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，三角形的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若弦，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為，，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足：

對于任意，都有成立.

①求數(shù)列的通項公式；

②設(shè)數(shù)列，問：數(shù)列中是否存在三項，使得它們構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2， ．
（1）把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐中，四邊形是菱形， ，又平面,

點(diǎn)是棱的中點(diǎn)， 在棱上，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若平面，求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在三棱錐D-ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E為BC的中點(diǎn),F在棱AC上,且AF=3FC

(1)求三棱錐D-ABC的體積

(2)求證:平面DAC⊥平面DEF;

(3)若M為DB中點(diǎn),N在棱AC上,且CN=CA,求證:MN∥平面DEF

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線垂直，則（ ）

A. 2 B. 1 C. D.

【答案】A

【解析】因為點(diǎn)P(2,2)滿足圓的方程，所以P在圓上，

又過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓相切，且與直線axy+1=0垂直，

所以切點(diǎn)與圓心連線與直線axy+1=0平行，

所以直線axy+1=0的斜率為： .

故選A.

點(diǎn)睛：對于直線和圓的位置關(guān)系的問題，可用“代數(shù)法”或“幾何法”求解，直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的，解題時不要單純依靠代數(shù)計算，若選用幾何法可使得解題過程既簡單又不容易出錯．

【題型】單選題
【結(jié)束】
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【題目】設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)在雙曲線上，且，則 （ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若平面點(diǎn)集滿足：任意點(diǎn)，存在，都有，則稱該點(diǎn)集是“階聚合”點(diǎn)集�，F(xiàn)有四個命題：

①若，則存在正數(shù)，使得是“階聚合”點(diǎn)集；

②若，則是“階聚合”點(diǎn)集；

③若，則是“2階聚合”點(diǎn)集；

④若是“階聚合”點(diǎn)集，則的取值范圍是.

其中正確命題的序號為（ ）

A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④

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