Question

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各棱長都相等，D、E分別是CC₁和AB₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上且滿足BF∶FC＝1∶3．

(1)若M為AB中點(diǎn)，求證：BB₁∥平面EFM；

(2)求證：EF⊥BC；

(3)求二面角A₁－B₁D－C₁的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連結(jié)EM、MF，∵M(jìn)、E分別是正三棱柱的棱AB和AB1的中點(diǎn)， 　　∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM． 　　(2)證明：取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)AN由正三棱柱得．AN⊥BC， 　　又BF∶FC＝1∶3，∴F是BN的中點(diǎn)，故MF∥AN， 　　∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME． 　　∴ME⊥BC，由于MF∩ME＝M，∴BC⊥平面EFM， 　　又EF平面EFM，∴BC⊥EF． 　　(3)解：取B1C1的中點(diǎn)O，連結(jié)A1O知，A1O⊥面BCC1B1，過點(diǎn)O作B1D的垂線OQ，垂足為Q，連結(jié)A1Q，由三垂線定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD為二面角A1－B1D－C的平面角，易得∠A1QD＝arctan．