Question

某小區(qū)想利用一矩形空地建市民健身廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形，其中，，且中，，經(jīng)測(cè)量得到．為保證安全同時(shí)考慮美觀，健身廣場(chǎng)周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄．設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)作一直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場(chǎng)，設(shè)．
（1）將五邊形的面積表示為的函數(shù)；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，市民健身廣場(chǎng)的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，到的市民健身廣場(chǎng)面積最大，最大面積為.

試題分析：（1）根據(jù)題意分析可考慮作，垂足為，從而可將五邊形的面積轉(zhuǎn)化為梯形與矩形的面積之和，由∽結(jié)合條件，可將梯形的上底，下底與高以及矩形的長(zhǎng)和寬都用含的代數(shù)式表示出來(lái)，從而可得：，再由，可得；（2）由（1）及條件可知，問(wèn)題就等價(jià)于求函數(shù)在上的最大值，而將其變形后可得：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，從而當(dāng)時(shí)，到的市民健身廣場(chǎng)面積最大，最大面積為.
試題解析：（1）如圖，作，垂足為，
∵，∴，又由∽，∴，
∵，∴，     2分
過(guò)作交于，
則，
所以，          7分
由于與重合時(shí)，適合條件，故；   8分

（2）由（1）得：，       10分
∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，    13分
即當(dāng)時(shí)，得到的市民健身廣場(chǎng)面積最大，最大面積為．     14分