Question

已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅲ）設(shè)，求在區(qū)間上的最小值.（為自然對數(shù)的底數(shù)）

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是；(Ⅱ)；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值=；當(dāng)時(shí)，最小值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零得到單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）根據(jù)給定的切線方程得到切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到參數(shù)的值；

（Ⅲ）對于函數(shù)的最值問題，根據(jù)給定的函數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的符號判定單調(diào)性，和定義域結(jié)合得到最值.

試題解析：（Ⅰ），（），                         2分

在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是. 4分

(Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則           6分（1個(gè)方程1分）

解得，.                                   7分

（Ⅲ），

則，                                   8分

解，得，

所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，

在區(qū)間上，為遞增函數(shù).                      9分

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，

所以最小值為.                        10分

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，

所以最小值為.                11分

當(dāng)，即時(shí)，最小值

=.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值=；當(dāng)時(shí)，最小值為.    12分

考點(diǎn)：1.用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值；2.求曲線在某點(diǎn)的切線方程