Question

6．如圖，平面四邊形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=DC=CB=1．
（1）若∠A=60°，求cosC．
（2）若△ABD和△BCD的面積分別為S、T，求S²+T²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）連接BD，在△ABD中，△BCD中利用余弦定理即可得解cosC的值．
（2）分別在△ABD，△BCD中由余弦定理得cosC=$\sqrt{3}$cosA-1，兩邊平方整理得sin²C=-3cos²A+2$\sqrt{3}$cosA，利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得S²+T²=-$\frac{3}{2}$（cosA-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²+$\frac{7}{8}$，結(jié)合范圍0＜A＜$\frac{π}{2}$且A≠$\frac{π}{6}$，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）如圖，連接BD，
在△ABD中由余弦定理得：
BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos60°=4-$\sqrt{3}$，
在△BCD中由余弦定理得：
BD²=BC²+DC²-2BC•DCcosC=2-2cosC，
∴cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1．---------------------------（3分）
（2）在△ABD中由余弦定理得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=4-2$\sqrt{3}$cosA，
在△BCD中由余弦定理得：BD²=BC²+DC²-2BC•DCcosC=2-2cosC，
∴cosC=$\sqrt{3}$cosA-1，-------------------------（5分）
兩邊平方整理得：sinC=-3cosA+2$\sqrt{3}$cosA，sin²C=-3cos²A+2$\sqrt{3}$cosA，-------------（6分）
S²+T²=（$\frac{1}{2}$AB•ADsinA）²+（$\frac{1}{2}$CB•CDsinC）²=$\frac{3}{4}$sin²A+$\frac{1}{4}$sin²C
=$\frac{3}{4}$sin²A+$\frac{1}{4}$（-3cos²A+2$\sqrt{3}$cosA）
=-$\frac{3}{2}$cos²A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{2}$（cosA-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²+$\frac{7}{8}$，---------（8分）
依題意知：0＜A＜$\frac{π}{2}$且A≠$\frac{π}{6}$，------------------------（10分）
∴0＜cosA＜1，且cosA≠$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以S²+T²的取值范圍為（$\frac{2\sqrt{3}-3}{4}$，$\frac{3}{8}$）∪（$\frac{3}{8}$，$\frac{7}{8}$）．-----------------（12分）

點評 本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．