Question

若函數(shù)f（x）=（x+1）（x²+ax+b），（a，b∈R）的圖象關(guān)于點（2，0）對稱，且對任意實數(shù)x≥m時，f（x）≥0恒成立，則實數(shù)m的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：取f（x）圖象上的兩點（0，b），（-1，0），易求兩對稱點，代入解析式可得方程組，解出a，b可得函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)零點可知f（x）的符號變化情況，進而可得m范圍．

解答： 解：取f（x）圖象上的兩點（0，b），（-1，0），
其關(guān)于（2，0）的對稱的分別為（4，-b），（5，0），
則

5(16+4a+b)=-b 6(25+5a+b)=0

，解得

a=-7 b=10

，
∴f（x）=（x+1）（x²-7x+10），
f′（x）=x²-7x+10+（x+1）（2x-7）=3[x-（2+

3

）][x-（2-

3

）]，
則x＜2-

3

或x＞2+

3

時，f′（x）＞0，當2-

3

＜x＜2+

3

時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，2-

3

]，[2+

3

，+∞）上遞增；在（2-

3

，2+

3

）上遞減．
又f（x）=（x+1）（x-2）（x-5），
∴f（5）=0，即x≥5時，f（x）≥0，
∵對任意實數(shù)x≥m時，f（x）≥0恒成立，
∴m≥5，
∴實數(shù)m的最小值為5，
故答案為：5．

點評：該題考查函數(shù)恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．