Question

已知方程x²+（2k-1）x+k²=0，求使方程有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根的充要條件．

Answer 1

分析：解法一，將兩個(gè)根都減去1將已知中的兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)都大于0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)的和大于0同時(shí)積大于0，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為k的不等式，求出k的范圍．
解法二，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象從對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系、區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)、判別式三個(gè)方面加以限制，寫出充要條件．

解答：解：法一：∵x²+（2k-1）x+k²=0，則方程有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根x₁、x₂：

? △=(2k-1)2-4k2≥0 (x1-1)(x2-1)＞0 (x1-1)+(x2-1)＞0

?

k≤ 1 4 x1x2-(x1+x2)+1＞0 (x1+x2)-2＞0

?

k≤ 1 4 k2+(2k-1)+1＞0 -(2k-1)-2＞0

?k＜-2
所以使方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根的充要條件是：k＜-2         
法二：∵方程x²+（2k-1）x+k²=0對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f（x）=x²+（2k-1）x+k²
方程x²+（2k-1）x+k²=0有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根

? △=(2k-1)2-4k2≥0 - (2k-1) 2 ＞1 f(1)=k2+2k＞0

?

k≤ 1 4 k＜- 1 2 k＜-2或k＞0

?k＜-2
所以使方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根的充要條件是：k＜-2

點(diǎn)評(píng)：解決二次方程的實(shí)根分布問題，一般先畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象從對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系、區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)、判別式三個(gè)方面加以限制即可．