【題目】在平面直角坐標系中,A、B分別為橢圓的上、下頂點,若動直線l過點,且與橢圓相交于C、D兩個不同點(直線l與y軸不重合,且C、D兩點在y軸右側,C在D的上方),直線AD與BC相交于點Q.
(1)設的兩焦點為、,求的值;
(2)若,且,求點Q的橫坐標;
(3)是否存在這樣的點P,使得點Q的縱坐標恒為?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2);(3)
【解析】
(1)由橢圓方程易知∠OAF2=45°,結合對稱性可得∠F1AF2=90°;
(2)設C(x1,y1),D(x2,y2),根據已知條件可求得直線BC的方程為y=2x﹣1,直線AD的方程為y=﹣x+1,聯立兩直線方程即可得到點Q的橫坐標;
(3)設直線l的方程為y=kx+b(k<0,b>1),與橢圓方程聯立,可得,直線BC的方程為,直線AD的方程為,進而得到點Q的縱坐標,由此建立方程化簡即可得出結論.
解:(1)由橢圓Γ的方程知,F1(﹣1,0),F2(1,0),A(0,1),
則∠OAF2=45°,
∴∠F1AF2=90°;
(2)若b=3,設C、D的兩點坐標為C(x1,y1),D(x2,y2),
∵,
∴,即,
而C(x1,y1),D(x2,y2)均在上,
代入得,解得,
∴,分別代入Γ解得,,
∴直線BC的方程為y=2x﹣1,直線AD的方程為y=﹣x+1,
聯立,解得,
∴Q點的橫坐標為;
(3)假設存在這樣的點P,設直線l的方程為y=kx+b(k<0,b>1),
點C,D的坐標為C(x1,y1),D(x2,y2),
聯立,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2﹣2=0,
由△=16k2b2﹣8(2k2+1)(b2﹣1)>0,得,
由,可得,
直線BC的方程為,直線AD的方程為,
而x1y2=kx1x2+bx1,x2y1=kx1x2+bx2,聯立,
得
=,
則b=3>1,因此,存在點P(0,3),使得點Q的縱坐標恒為.
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【題目】年前某市質監(jiān)部門根據質量管理考核指標對本地的500家食品生產企業(yè)進行考核,然后通過隨機抽樣抽取其中的50家,統(tǒng)計其考核成績(單位:分),并制成如下頻率分布直方圖.
(1)求這50家食品生產企業(yè)考核成績的平均數(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表)及中位數a(精確到0.01)
(2)該市質監(jiān)部門打算舉辦食品生產企業(yè)質量交流會,并從這50家食品生產企業(yè)中隨機抽取4家考核成績不低于88分的企業(yè)發(fā)言,記抽到的企業(yè)中考核成績在的企業(yè)數為X,求X的分布列與數學期望
(3)若該市食品生產企業(yè)的考核成績X服從正態(tài)分布其中近似為50家食品生產企業(yè)考核成績的平均數,近似為樣本方差,經計算得,利用該正態(tài)分布,估計該市500家食品生產企業(yè)質量管理考核成績高于90.06分的有多少家?(結果保留整數).
附參考數據與公式:
則,.
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【題目】已知三棱錐中,與均為等腰直角三角形,且,,為上一點,且平面.
(1)求證:;
(2)過作一平面分別交, , 于,,,若四邊形為平行四邊形,求多面體的表面積.
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【題目】某高中某班共有40個學生,將學生的身高分成4組:平頻率/組距,,,進行統(tǒng)計,作成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值和身高在內的人數;
(2)求這40個學生平均身高的估計值(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表)(精確到0.01).
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【題目】已知直線,斜率為的直線與x軸交于點A,與y軸交于點,過作x 軸的平行線,交于點,過作y軸的平行線,交于點,再過作x軸的平行線交于點,…,這樣依次得線段、、、、…、、,記為點的橫坐標,則__________.
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【題目】已知函數.
(1)若函數在處的切線方程,求實數a,b的值;
(2)若函數在和兩處得極值,求實數a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若.求實數a的取值范圍.
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【題目】已知是橢圓C: 上一點,點P到橢圓C的兩個焦點的距離之和為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設A,B是橢圓C上異于點P的兩點,直線PA與直線交于點M,
是否存在點A,使得?若存在,求出點A的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(t為參數),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程以及曲線C的參數方程;
(2)過曲線C上任意一點M作與直線的夾角為的直線,交于點N,求的最小值
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【題目】已知中,三個內角,,所對的邊分別是,,.
(1)證明:;
(2)在①,②,③這三個條件中任選一個補充在下面問題中,并解答
若,,________,求的周長.
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