Question

2．已知雙曲線C的離心率為$\sqrt{3}$，焦點為F₁，F(xiàn)₂，點A在曲線C上，若|F₁A|=3|F₂A|，則cos∠AF₂F₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），設A為右支上一點，且|F₂A|=m，由題意可得|F₁A|=3m，由雙曲線的定義和離心率公式、以及余弦定理，計算即可得到所求值．

解答 解：設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
設A為右支上一點，且|F₂A|=m，
由題意可得|F₁A|=3m，
由雙曲線的定義可得|F₁A|-|F₂A|=2a，
解得m=a，又e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，可得c=$\sqrt{3}$a，
在△AF₁F₂中，|F₁A|=3a，|F₂A|=a，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$a，
可得cos∠AF₂F₁=$\frac{{a}^{2}+12{a}^{2}-9{a}^{2}}{2a•2\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的定義和性質，注意運用離心率公式和定義法，同時考查余弦定理的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．