Question

5．將函數(shù)y=log_a$\frac{a（x+1）+2}{x}$（a＞0，a≠1）的圖象向右平移1個(gè)單位得到函數(shù)y=f（x）的圖象．
（1）若x∈（3，+∞），求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）若y=f（x）在區(qū)間（-3，-1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)平移得出f（x）=log_a$\frac{ax+2}{x-1}$（a＞0，a≠1）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，分類判斷求解．
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，定義域判斷得出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{u（-1）≥0}\end{array}\right.$求解．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=log_a$\frac{a（x+1）+2}{x}$（a＞0，a≠1）的圖象向右平移1個(gè)單位得到函數(shù)y=f（x）的圖象．
∴f（x）=log_a$\frac{ax+2}{x-1}$（a＞0，a≠1）
∵u（x）=a+$\frac{a+2}{x-1}$（3，+∞）為減函數(shù)，
∴a＜u（x）＜$\frac{3a}{2}$+1，
當(dāng)a＞1時(shí)，1＜f（x）＜log_a（$\frac{3a}{2}$+1）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_a（$\frac{3a}{2}$+1）＜f（x）＜1
∴函數(shù)y=f（x）的值域
當(dāng)a＞1時(shí)，{y|1＜y＜log_a（$\frac{3a}{2}$+1）}
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，{y|log_a（$\frac{3a}{2}$+1）＜f（x）＜1}
（2）∵u（x）=a+$\frac{a+2}{x-1}$，a＞0，a≠1在（-3，-1）為減函數(shù)，u（-1）≥0
∴根據(jù)y=f（x）在區(qū)間（-3，-1）上單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{a}{2}-1≥0}\end{array}\right.$，即a≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考察了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解，屬于綜合題目，關(guān)鍵是確定函數(shù)結(jié)構(gòu)．