Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2^x-4^x
（1）判斷函數(shù)f（x）在[0，1]上的單調(diào)性并用定義證明．
（2）若方程f（x）-b=0在[-2，2]上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）作差f（x₁）-f（x₂）=-（2 x1-2x2）（1-（2 x1+2x2））判斷因式符號(hào)即可．
（2）求解可判斷；[-2，-1]單調(diào)遞增，[-1，2]單調(diào)遞減，得出

b＜f(-1) b≥f(-2) b≥f(2)

即

b＜ 1 4 b≥ 3 16 b≥-12

，求解即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2^x-4^x，
∴設(shè)0≤x₁＜x₂≤1則1≤2 x1＜2x2≤2，
∴f（x₁）-f（x₂）=-（2 x1-2x2）（1-（2 x1+2x2））
∵2 x1-2x2＜0，1-（2 x1+2x2）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
斷函數(shù)f（x）在[0，1]上的單調(diào)遞減．
（2）設(shè)-2≤x₁＜x₂≤2則

1

4

≤2 x1＜2x2≤4，
∵f（x₁）-f（x₂）=-（2 x1-2x2）（1-（2 x1+2x2））
∴可判斷；[-2，-1]單調(diào)遞增，[-1，2]單調(diào)遞減，
∵方程f（x）-b=0在[-2，2]上有兩個(gè)不同的解，
∴

b＜f(-1) b≥f(-2) b≥f(2)

即

b＜ 1 4 b≥ 3 16 b≥-12

，
得出：

3

16

≤b＜

1

4

，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍：

3

16

≤b＜

1

4

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，求解最值，參變量的范圍問(wèn)題，屬于中檔題，難度較大．