Question

已知f（x）=ax-lnx（a∈R），g（x）=x²-2x+m．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）當a=1時，曲線y=f（x）在A（2，f（2））處的切線與曲線y=g（x）切于點B（x₀，g（x₀）），求實數m的值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出函數f（x）的導數，通過a與0的大小討論，即可判斷函數的單調性；
（2）當a=1時，利用求出曲線y=f（x）在A（2，f（2））處的切線方程，求出曲線y=g（x）在點B（x₀，g（x₀））的切線方程，通過兩條直線重合，即可求實數m的值．

解答： 解：（1）f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

 (x＞0)（1分）
當a≤0時，f'（x）＜0恒成立
當a＞0時，由f′(x)＞0 解得 x＞

1

a

，由f'（x）＜0解得0＜x＜

1

a

因此，當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減（3分）
當a＞0時，f（x）在(0，  

1

a

)遞減，(

1

a

，  +∞)遞增（5分）
（2）當 a=1時，f(x)=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

∴k=f′(2)=1-

1

2

=

1

2

，又 f(2)=2-ln2
∴曲線y=f（x）在點A處的切線方程為y-(2-ln2)=

1

2

(x-2)，即 y=

1

2

x+1-ln2①（8分）
又g'（x）=2x-2∴g'（x₀）=2x₀-2
∴曲線y=g（x）在點B處的切線方程為y-(

x

2 0

-2x0+m)=(2x0-2)(x-x0)
即y=(2x0-2)x+m-

x

2 0

②（10分）
由題意知①②應為同一直線
∴

2x0-2= 1 2 m- x 2 0 =1-ln2

，
解得

x0= 5 4 m= 41 16 -ln2

，
因此，m=

41

16

-ln2（12分）
另解：由

y= 1 2 x+1-ln2 y=x2-2x+m

消去y得x2-

5

2

x+m-1+ln2=0
由△=(

5

2

)2-4(m-1+ln2)=0，
解得m=

41

16

-ln2．

點評：本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及曲線的切線方程的應用，考查分析問題解決問題的能力．