Question

1．在△ABC中．A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos2C=-$\frac{1}{4}$．
（1）若a+b=5，求△ABC面積的最大值；
（2）若a=2，2sin²A+sinAsinC=sin²C，求b及c的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意和二倍角公式可得sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，再由a+b=5和基本不等式可得ab≤$\frac{25}{4}$，代入面積公式由不等式的性質(zhì)可得；
（2）由題意和正弦定理可得c=2a=4，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosC，代入余弦定理可得b值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，cos2C=-$\frac{1}{4}$，∴1-2sin²C=-$\frac{1}{4}$，
解得sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，或sinC=-$\frac{\sqrt{10}}{4}$（舍去負(fù)值），
又a+b=5，∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{25}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{5}{2}$時(shí)ab取到最大值$\frac{25}{4}$，
∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{10}}{8}$ab≤$\frac{\sqrt{10}}{8}$•$\frac{25}{4}$=$\frac{25\sqrt{10}}{32}$
∴面積的最大值為$\frac{25\sqrt{10}}{32}$；
（2）∵a=2，2sin²A+sinAsinC=sin²C，
∴由正弦定理可得2a²+ac=c²，
移項(xiàng)并分解因式可得（a+c）（2a-c）=0，
由a，c為正數(shù)可得2a-c=0，即c=2a=4，
由余弦定理可得4²=2²+b²-2•2•b•cosC，
當(dāng)cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$時(shí)，代入上式可解得b=2$\sqrt{6}$；
當(dāng)cosC=-$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$時(shí)，代入上式可解得b=$\sqrt{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及分類(lèi)討論思想和三角形的面積公式以及基本不等式求最值，屬中檔題．