Question

【題目】若無(wú)窮數(shù)列滿足：，且對(duì)任意，(s，k，l，)都有，則稱數(shù)列為“T”數(shù)列.

（1）證明：正項(xiàng)無(wú)窮等差數(shù)列是“T”數(shù)列；

（2）記正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，若數(shù)列是“T”數(shù)列，求數(shù)列公比的取值范圍；

（3）若數(shù)列是“T”數(shù)列，且數(shù)列的前n項(xiàng)之和滿足，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）.（3）答案見解析

【解析】

（1），根據(jù)題意得到，得到證明.

（2）討論，，三種情況，時(shí)，計(jì)算，時(shí)，計(jì)算，得到答案.

（3）計(jì)算得到，根據(jù)題意得到，利用退項(xiàng)相減得到，得到證明.

（1），

因?yàn)檎��?xiàng)無(wú)窮等差數(shù)列，所以，且，所以，

所以正項(xiàng)無(wú)窮等差數(shù)列是“T”數(shù)列.

（2）1°時(shí)成立，所以；

2°時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以，所以.

3°時(shí)，

，

因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，

所以

，

所以舍去，

綜上：

（3），，

所以，

數(shù)列是“T”數(shù)列，故，，…，，

所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以，

即，，相減得到，

故，相減得到，故數(shù)列是等差數(shù)列.