Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）是否存在及過原點(diǎn)的直線，使得直線與曲線，均相切？若存在，求的值及直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）存在及：，使得直線與曲線，均相切；（2）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：對(duì)問題（1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及過原點(diǎn)的直線是曲線，的公切線，從而可求出直線的方程以及的值；對(duì)于問題（2），通過對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)并結(jié)合對(duì)實(shí)數(shù)的分類討論即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）∵，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線過原點(diǎn)，則切線方程為，

∵點(diǎn)在切線上，∴，∴，∴切線方程為，設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，∵，∴，.

又∵，∴，∴，解得，

∴.故存在及：，使得直線與曲線，均相切.

（2），，

令，則，易知在上單調(diào)遞減，從而.

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵，∴在上恒成立，即在上恒成立.

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴滿足題意.

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，故函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又∵，∴在上單調(diào)遞增.

注意到，∴在上單調(diào)遞減，這與在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)矛盾，∴不合題意.

綜合①②得，的取值范圍是.