(本題滿(mǎn)分18分;第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)

設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,且公差為,若數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱(chēng)該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.

(1)若,判斷該數(shù)列是否為“封閉數(shù)列”,并說(shuō)明理由?

(2)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,若公差,試問(wèn):是否存在這樣的“封閉數(shù)列”,使;若存在,求的通項(xiàng)公式,若不存在,說(shuō)明理由;

(3)試問(wèn):數(shù)列為“封閉數(shù)列”的充要條件是什么?給出你的結(jié)論并加以證明.


解析:

(1)數(shù)列是“封閉數(shù)列”,因?yàn)椋?img width=168 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/129/17729.gif" >,------------1分

對(duì)任意的,有

,---------------------------------------------3分

于是,令,則有-------------------------4分

(2)解:由是“封閉數(shù)列”,得:對(duì)任意,必存在使

成立,----------------------------------------------------5分

于是有為整數(shù),又是正整數(shù)。-------------------------------6分

,所以,-----------------------7分

,則,所以,------------------------8分

,則,于是

,所以,------------------------------------------9分

綜上所述,,顯然,該數(shù)列是“封閉數(shù)列”。---------------- 10分

(3)結(jié)論:數(shù)列為“封閉數(shù)列”的充要條件是存在整數(shù),使.----12分

證明:(必要性)任取等差數(shù)列的兩項(xiàng),若存在使,則

故存在,使,---------------------------------------------------------14分

下面證明。當(dāng)時(shí),顯然成立。

對(duì),若,則取,對(duì)不同的兩項(xiàng),存在使,

,這與矛盾,

故存在整數(shù),使。------------------------------------------------------------------16分

(充分性)若存在整數(shù)使,則任取等差數(shù)列的兩項(xiàng),于是

由于為正整數(shù),證畢.----------------------18分

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(本題滿(mǎn)分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)

在平行四邊形中,已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段分別相交于點(diǎn)。若。

(1)求證:的關(guān)系為;

(2)設(shè),定義函數(shù),點(diǎn)列在函數(shù)的圖像上,且數(shù)列是以首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,為原點(diǎn),令,是否存在點(diǎn),使得?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

(3)設(shè)函數(shù)上偶函數(shù),當(dāng)時(shí),又函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng), 當(dāng)方程上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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(本題滿(mǎn)分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)
對(duì)于數(shù)列,如果存在一個(gè)正整數(shù),使得對(duì)任意的)都有成立,那么就把這樣一類(lèi)數(shù)列稱(chēng)作周期為的周期數(shù)列,的最小值稱(chēng)作數(shù)列的最小正周期,以下簡(jiǎn)稱(chēng)周期。例如當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列,當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列。
(1)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足),不同時(shí)為0),且數(shù)列是周期為的周期數(shù)列,求常數(shù)的值;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且
①若,試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列,并說(shuō)明理由;
②若,試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足),,,數(shù)列的前項(xiàng)和為,試問(wèn)是否存在,使對(duì)任意的都有成立,若存在,求出的取值范圍;不存在,   說(shuō)明理由;

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(本題滿(mǎn)分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)

對(duì)于數(shù)列,如果存在一個(gè)正整數(shù),使得對(duì)任意的)都有成立,那么就把這樣一類(lèi)數(shù)列稱(chēng)作周期為的周期數(shù)列,的最小值稱(chēng)作數(shù)列的最小正周期,以下簡(jiǎn)稱(chēng)周期。例如當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列,當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列。

    (1)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足),不同時(shí)為0),且數(shù)列是周期為的周期數(shù)列,求常數(shù)的值;

    (2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且

①若,試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列,并說(shuō)明理由;

②若,試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列,并說(shuō)明理由;

    (3)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足),,,,數(shù)列 的前項(xiàng)和為,試問(wèn)是否存在,使對(duì)任意的都有成立,若存在,求出的取值范圍;不存在,    說(shuō)明理由;

 

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已知函數(shù),其中.

(1)當(dāng)時(shí),設(shè),求的解析式及定義域;

(2)當(dāng)時(shí),求的最小值;

(3)設(shè),當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,求的取值范圍.

 

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設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,且公差為,若數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱(chēng)該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.

(1)若,求證:該數(shù)列是“封閉數(shù)列”;

(2)試判斷數(shù)列是否是“封閉數(shù)列”,為什么?

(3)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,若公差,試問(wèn):是否存在這樣的“封閉數(shù)列”,使;若存在,求的通項(xiàng)公式,若不存在,說(shuō)明理由.

 

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