【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+a)ex , (a為常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底).
(1)當(dāng)a=0時(shí),求f′(2);
(2)若f(x)在x=0時(shí)取得極小值,試確定a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,設(shè)由f(x)的極大值構(gòu)成的函數(shù)為g(a),將a換元為x,試判斷曲線y=g(x)是否能與直線3x﹣2y+m=0(m為確定的常數(shù))相切,并說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2ex,f'(x)=2xex﹣x2ex=xex(2﹣x).

所以f'(2)=0.


(2)解:f'(x)=(2x+a)ex﹣ex(x2+ax+a)=ex[﹣x2+(2﹣a)x]=﹣exx[x﹣(2﹣a)].

令f'(x)=0,得x=0或x=2﹣a.

若2﹣a=0,即a=2時(shí),f'(x)=﹣x2ex≤0恒成立,

此時(shí)f(x)在區(qū)間(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞減,沒有極小值;

當(dāng)2﹣a>0,即a<2時(shí),

若x<0,則f'(x)<0.

若0<x<2﹣a,則f'(x)>0.

所以x=0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).

當(dāng)2﹣a<0,即a>2時(shí),

若x>0,則f'(x)<0.

若2﹣a<x<0,則f'(x)>0.

此時(shí)x=0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn).

綜上所述,使函數(shù)f(x)在x=0時(shí)取得極小值的a的取值范圍是a<2.


(3)解:由(2)知當(dāng)a<2,且x>2﹣a時(shí),f'(x)<0,

因此x=2﹣a是f(x)的極大值點(diǎn),極大值為f(2﹣a)=(4﹣a)ea2

所以g(x)=(4﹣x)ex2(x<2).

g'(x)=﹣ex2+ex2(4﹣x)=(3﹣x)ex2

令h(x)=(3﹣x)ex2(x<2).

則h'(x)=(2﹣x)ex2>0恒成立,即h(x)在區(qū)間(﹣∞,2)上是增函數(shù).

所以當(dāng)x<2時(shí),h(x)<h(2)=(3﹣2)e22=1,即恒有g(shù)'(x)<1.

又直線3x﹣2y+m=0的斜率為 ,

所以曲線y=g(x)不能與直線3x﹣2y+m=0相切.


【解析】(1)把a(bǔ)=0代入函數(shù)解析式,求導(dǎo)后直接把x=2代入導(dǎo)函數(shù)解析式計(jì)算(2)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為0或2﹣a,分2﹣a=0、2﹣a>0、2﹣a<0三種情況討論導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào),判出極小值點(diǎn),從而得到使f(x)在x=0時(shí)取得極小值的a的取值范圍;(3)由(2)中的條件,能夠得到x=2﹣a是f(x)的極大值點(diǎn),求出f(2﹣a),得到g(x),兩次求導(dǎo)得到函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù)值小于1,而直線3x﹣2y+m=0的斜率為 ,說(shuō)明曲線y=g(x)與直線3x﹣2y+m=0不可能相切.

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x

f(x)

0

2

0

﹣2

0

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