Question

已知函數(shù)f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

），已知該函數(shù)為偶函數(shù)．求證：對(duì)所有非零實(shí)數(shù)x，都有f（x）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先證明x＞0時(shí)，f（x）＞0，根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

），
當(dāng)x＞0時(shí)，因2^x＞1，∴

1

2x-1

＞0，
∴f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0，
由于函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故x＜0時(shí)，f（x）＞0，
所以對(duì)所有非零實(shí)數(shù)x，都有f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查偶函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．