Question

已知函數(shù)f（x）=1+lnx．
（1） 求過(guò)原點(diǎn)且與曲線(xiàn)y=f（x）相切的直線(xiàn)方程；
（2） 若關(guān)于x的不等式f（x）≤ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1） 先求其導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得切線(xiàn)的斜率，求出切線(xiàn)方程，利用切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，就可以把具體的切線(xiàn)方程求出來(lái)；
（2）先把不等式f（x）≤ax恒成立轉(zhuǎn)化為a≥，再利用導(dǎo)函數(shù)求出不等式右邊的最大值即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=1+lnx，∴，
設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）上切點(diǎn)坐標(biāo)為（x，1+lnx），
則，解得x=1，k=1，
∴切線(xiàn)方程為y=x．（5分）
（2）∵x＞0，
∴f（x）≤ax?a≥，（6分）
設(shè)，則，（8分）
令，得x=1，（9分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴a≥1．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程以及研究函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題．