Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x-4
（1）若函數(shù)定義域?yàn)閇3，4]，求函數(shù)值域；
（2）若函數(shù)定義域?yàn)閇-3，4]，求函數(shù)值域．

Answer 1

解：函數(shù)f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8
（1）當(dāng)函數(shù)定義域?yàn)閇3，4]時(shí)，
∵函數(shù)的圖象是關(guān)于直線x=2對稱，開口向上的拋物線
∴函數(shù)在[3，4]上是增函數(shù)，最小值為f（3）=-7，最大值為f（4）=-4
可得函數(shù)的值域?yàn)閇-7，-4]
（2）當(dāng)函數(shù)定義域?yàn)閇-3，4]時(shí)，
∵函數(shù)的圖象是關(guān)于直線x=2對稱，開口向上的拋物線
∴函數(shù)在[-3，2]上是減函數(shù)，[2，4]上是增函數(shù)，
函數(shù)的最小值為f（2）=-8，最大值為f（-3）與f（4）中的較大值：f（-3）=17
因此，函數(shù)的值域?yàn)閇-8，17]．
分析：（1）化函數(shù)為f（x）=（x-2）²-8，可得函數(shù)的圖象是關(guān)于直線x=2對稱，開口向上的拋物線，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)，可得函數(shù)的最大值為f（4）=-4，最小值為f（3）=-7，由此不難得到函數(shù)的值域．
（2）由（1）的討論可得函數(shù)在[-3，2]上是減函數(shù)，[2，4]上是增函數(shù)，最小值為f（2）=-8，最大值為f（-3）和f（4）中的較大值，在此基礎(chǔ)上加以計(jì)算，即可得到函數(shù)的值．
點(diǎn)評：本題給出二次函數(shù)，求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域，著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)值域求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．