已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
3
3
，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）拋物線C2：y2=2px（p＞0）與橢圓C1有公共焦點(diǎn)，設(shè)C2與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R，S在C2上（R，S與Q不重合），且滿足
QR
•
RS
=0，求|
QS
|的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由于直線l：y=x+2與圓x2+y2=b2相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得b．再利用e=
c
a
，a2=b2+c2，即可得出．
（2）由拋物線與橢圓有公共的焦點(diǎn)可得p，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答： 解：（1）由直線l：y=x+2與圓x2+y2=b2相切，∴
|0-0+2|
2
=b，解得b=
2
．
聯(lián)立
e=
c
a
=
3
3
a2=(
2
)2+c2
解得a=
3
，c=1．
∴橢圓的方程是C1：
x2
3
+
y2
2
=1．
（2）由橢圓的右焦點(diǎn)（1，0），拋物線y2=2px的焦點(diǎn)(
p
2
，0)，
∵有公共的焦點(diǎn)，∴
p
2
=1，解得p=2，故拋物線C2的方程為：y2=4x．
易知Q（0，0），設(shè)R（
y
2
1
4
，y1），S（
y
2
2
4
，y2），
∴
QR
=（
y
2
1
4
，y1），
RS
=(
y
2
2
-
y
2
1
4
，y2-y1)，
由
QR
•
RS
=0，得
y
2
1
(
y
2
2
-
y
2
1
)
16
+y1(y2-y1)=0，
∵y1≠y2，∴y2=-(y1+
16
y1
)，
∴
y
2
2
=
y
2
1
+
256
y
2
1
+32≥2
y
2
1
•
256
y
2
1
+32=64，當(dāng)且僅當(dāng)
y
2
1
=16，即y1=±4時(shí)等號(hào)成立．
又|
QS
|=
y
4
2
16
+
y
2
2
=
1
4
(
y
2
2
+8)2-64
≥
1
4
722-64
=8
5
，
當(dāng)
y
2
2
=64，即y2=±8時(shí)，|
QS
|min=8
5
，
故|
QS
|的取值范圍是[8
5
，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量的數(shù)量積運(yùn)算和基本不等式的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，滿足a＞0，b＜0的函數(shù)y=ax2+bx的圖象是（　　）
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F1、F2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)F2（c，0）到上頂點(diǎn)的距離為2，若a2=
6
c
（1）求此橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)為P(1，
1
2
)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，10）．分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A1，A2…A9和B1，B2…B9，連結(jié)OBi，過(guò)Ai做x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi（i∈N*，1≤i≤9）．
（1）求證：點(diǎn)Pi（i∈N*，1≤i≤9）都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)C做直線與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若△OCM與△OCN的面積比為4：1，求直線的方程．
（3）傾斜角為a的直線經(jīng)過(guò)拋物線E的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交y軸于點(diǎn)P，證明|FP|+|FP|cos2α為定值，并求此定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)F（2，0）且與直線x=-2相切，圓心P的軌跡為曲線C
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）①過(guò)定點(diǎn)f（2，0）作互相垂直的直線l1，l2分別交軌跡C于點(diǎn)M，N和點(diǎn)R，Q，求四邊形MRNQ面積的最小值；
②定點(diǎn)P（2，4），動(dòng)點(diǎn)A，B是軌跡C上的三個(gè)點(diǎn)，且滿足kPA•kPB=8，試問(wèn)AB所在的直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

從數(shù)列{an}中抽出一些項(xiàng)，依原來(lái)的順序組成的新數(shù)列叫數(shù)列{an}的一個(gè)子列．
（Ⅰ）寫(xiě)出數(shù)列{3n-1}的一個(gè)是等比數(shù)列的子列；
（Ⅱ）設(shè){an}是無(wú)窮等比數(shù)列，首項(xiàng)a1=1，公比為q．求證：當(dāng)0＜q＜1時(shí)，數(shù)列{an}不存在是無(wú)窮等差數(shù)列的子列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求函數(shù)f（x）=x2-
1
x2
+2x+1的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知某二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A（2，-18），它與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6，則該二次函數(shù)的解析式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=ax2+2（a-2）x+3在區(qū)間（-∞，3]上為減函數(shù)，則a的取值范圍為
 
．

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