Question

已知關(guān)于x的方程的兩根是一個矩形兩邊的長．
（1）k取何值時，方程存在兩個正實數(shù)根？
（2）當(dāng)矩形的對角線長是時，求k的值．

Answer 1

解：（1）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂
則△=（k+1）²-4（ k²+1）=2k-3，
∵方程有兩個實數(shù)根，∴△≥0，即2k-3≥0，①
k+1＞0，②
③
∴綜上可知k≥
∴當(dāng)k≥，方程有兩個正實數(shù)根．
（2）由題意得：，
又∵x₁²+x₂²=5，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
（k+1）²-2（ k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值為2．

分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，方程有兩個正實數(shù)根，則判別式△≥0，且兩根的和與積都是正數(shù)，得出關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍．
（2）根據(jù)勾股定理得到的兩根的平方和與根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于k的方程，求出k的值并檢驗．
點評：解決本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理，把問題轉(zhuǎn)化為解方程求得k的值，本題解題的關(guān)鍵是根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用．