Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè),證明：對任意,總存在,使得.

Answer 1

（1）f(x)在(1,2)單調(diào)遞減函數(shù)，f(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增函數(shù)；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，先對求導(dǎo)，而分子還比較復(fù)雜，所以對分子進(jìn)行二次求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)非負(fù)，所以分子所對函數(shù)為增函數(shù)，而，所以在上，在上，所以在為負(fù)值，在上為正值，所以得出的單調(diào)性；第二問，先對已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為恒成立，而，即轉(zhuǎn)化為恒成立，再次轉(zhuǎn)化為，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷的正負(fù).
試題解析：（1）       1分
設(shè),
∴在是增函數(shù)，又                     3分
∴當(dāng)時(shí), ,則,是單調(diào)遞減函數(shù);
當(dāng)時(shí), ,則,是單調(diào)遞增函數(shù).
綜上知：在單調(diào)遞減函數(shù)，
在單調(diào)遞增函數(shù)                   6分
（2）對任意，總存在,使得恒成立
等價(jià)于恒成立,而,即證恒成立.等價(jià)于,
也就是證                               8分
設(shè),             10分
∴在單調(diào)遞增函數(shù),又
∴當(dāng)時(shí),,則
當(dāng)時(shí),,則
綜上可得：對任意,總存在,
使得.                               12分