Question

函數(shù)f（x）=sin

π

2

x，對任意的實數(shù)t，記f（x）在[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），則函數(shù)
h（t）=M（t）-m（t）的值域為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：求出周期，畫出f（x）的圖象，討論（1）當4n-1≤t≤4n，（2）當4n＜t＜4n+1，（3）當4n+1≤t≤4n+2，（4）當4n+2＜t＜4n+3，分別求出最大值和最小值，再求h（t）的值域，最后求并集即可得到．

解答： 解：函數(shù)f（x）=sin

π

2

x的周期為T=

2π

π 2

=4，
（1）當4n-1≤t≤4n，n∈Z，區(qū)間[t，t+1]為增區(qū)間，則有m（t）=sin

πt

2

，M（t）=sin

π(t+1)

2

=cos

πt

2

；
（2）當4n＜t＜4n+1，n∈Z，①若4n＜t≤4n+

1

2

，
則M（t）=1，m（t）=sin

πt

2

，
②若4n+

1

2

＜t＜4n+1，則M（t）=1，m（t）=cos

πt

2

；
（3）當4n+1≤t≤4n+2，則區(qū)間[t，t+1]為減區(qū)間，則有M（t）=sin

πt

2

，m（t）=cos

πt

2

；
（4）當4n+2＜t＜4n+3，則m（t）=-1，
①當4n+2＜t≤4n+

5

2

時，M（t）=sin

πt

2

，
②當4n+

5

2

＜t＜4n+3時，M（t）=cos

πt

2

．
則有h（t）=M（t）-m（t）
=

cos πt 2 -sin πt 2 ，4n-1≤t≤4n 1-sin πt 2 ，4n＜t≤4n+ 1 2 1-cos πt 2 ，4n+ 1 2 ＜t＜4n+1 sin πt 2 -cos πt 2 ，4n+1≤t≤4n+2 sin πt 2 +1，4n+2＜t≤4n+ 5 2 cos πt 2 +1，4n+ 5 2 ＜t＜4n+3

當4n-1≤t≤4n，h（t）的值域為[1，

2

]，
當4n＜t≤4n+

1

2

，h（t）的值域為[1-

2

2

，1），
當4n+

1

2

＜t＜4n+1，h（t）的值域為（1-

2

2

，1），
當4n+1≤t≤4n+2，h（t）的值域為[1，

2

]，
當4n+2＜t≤4n+

5

2

時，h（t）的值域為[1-

2

2

，1），
當4n+

5

2

＜t＜4n+3時，h（t）的值域為[1-

2

2

，1）．
綜上，h（t）=M（t）-m（t）的值域為[1-

2

2

，

2

]．
故答案為：[1-

2

2

，

2

]．

點評：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的周期性和單調(diào)性及運用，考查運算能力，有一定的難度．