Question

在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=

3

，SB=2

2

．
（1）證明：BC⊥SC
（2）求點(diǎn)A到平面SCB的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件求出SA=2，SC=

5

，由此利用勾股定理能證明BC⊥SC．
（2）由已知條件推導(dǎo)出SA⊥平面ABC，AB=SA=2，由此利用等體積法能求出點(diǎn)A到平面SCB的距離．

解答： （1）證明：∵在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，
AC=1，BC=

3

，SB=2

2

，
∴SA=2，在Rt△SAC中，SC=

SA2+AC2

=

4+1

=

5

，（5分）
∵BC²+SC²=3+5=8=SB²，∴BC⊥SC．（6分）
（2）解：∵∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°
∴SA⊥AB，SA⊥AC，且AB∩AC=A，
∴SA⊥平面ABC，（7分）
在Rt△ACB中，AB=

BC2+AC2

=2，
Rt△SAB中，SA=

SB2-AB2

=

8-4

=2，
∵S△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，（9分）
∴VS-ABC=

1

3

S△ABC•SA=

1

3

×

3

2

×2=

3

3

．（10分）
由（1）知△SCB是直角三角形，得SC=

5

，∴S△SCB=

15

2

，（12分）
設(shè)點(diǎn)A到平面SCB的距離為d，
由等體積法知

1

3

•

15

2

•d=

3

3

，解的d=

2 5

5

，
∴點(diǎn)A到平面SCB的距離d=

2 5

5

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等積法的合理運(yùn)用．