Question

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q，試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)E（m，0），使恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得c，再求出b的值，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由題意知拋物線的焦點(diǎn)，∴…（1分）
又∵橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形，∴b=1，
∴橢圓的方程為…（3分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為：y=k（x-1）
代入橢圓方程，消去y，可得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則…（5分）
∵
∴=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂===…（7分）
==…（9分）
當(dāng)，即時(shí)，為定值…（10分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
由可得，∴
綜上所述，當(dāng)時(shí)，為定值…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．