Question

12．已知二次函數(shù)f（x）=2x²+1，過(guò)點(diǎn)（1，0）做直線l₁，l₂與f（x）的圖象相切于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程為（　�。�

• A． $\sqrt{6}$x-y+2=0
• B． x-$\sqrt{6}$y+1=0
• C． 4x-y+2=0
• D． x-4y+1=0

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)A（x₁，2x₁²+1），B（x₂，2x₂²+1），求出二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式，化簡(jiǎn)可得x₁，x₂為方程2x²-4x-1=0的兩根，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得直線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)整理，即可得到答案．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)A（x₁，2x₁²+1），B（x₂，2x₂²+1），
由f（x）=2x²+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=4x，
可得切線的斜率為4x₁=$\frac{{{2x}_{1}}^{2}+1}{{x}_{1}-1}$，4x₂=$\frac{{{2x}_{2}}^{2}+1}{{x}_{2}-1}$，
化簡(jiǎn)可得x₁，x₂為方程2x²-4x-1=0的兩根，
可得x₁+x₂=2，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，
k_AB=$\frac{{{2x}_{2}}^{2}-{{2x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=2（x₁+x₂）=4，
即有直線AB的方程為y-2x₁²-1=4（x-x₁），
化簡(jiǎn)可得4x-y+2=0，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和方程，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程，以及二次方程的韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．