Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在直線l：x-y-m=0與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)恰在拋物線x²=4y上，若l存在，請(qǐng)求出m的值，若l不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，a+4）
∵半徑為的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O
∴a²+（a+4）²=8
∴a²+4a+4=0
∴a=-2
∴圓心坐標(biāo)為（-2，2）
∴圓C的方程：（x+2）²+（y-2）²=8
（2）將直線l：x-y-m=0與圓C聯(lián)立，消去y可得：2x²-2mx+m²+4m=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=m
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=3m
∵線段AB的中點(diǎn)恰在拋物線x²=4y上
∴滿足方程x²=4y
∴
∴m=0或m=24
當(dāng)m=0時(shí)，△=4m²-8（m²+4m）=0，不符合題意．
當(dāng)m=24時(shí)，△=4m²-8（m²+4m）＜0
所以不存在直線l：x-y-m=0與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)恰在拋物線x²=4y上
分析：（1）由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，a+4），利用半徑為的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，可得a²+（a+4）²=8，從而可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可求圓C的方程；
（2）將直線l：x-y-m=0與圓C聯(lián)立，消去y可得：2x²-2mx+m²+4m=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=m
，y₁+y₂=x₁+x₂+2m=3m，利用線段AB的中點(diǎn)恰在拋物線x²=4y上，可求得m=0或m=24，再驗(yàn)證△=4m²-8（m²+4m），即可知是否存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是圓的方程，考查直線與圓相交，解題時(shí)，將直線與圓聯(lián)立是關(guān)鍵，判別式是否驗(yàn)證是易錯(cuò)點(diǎn)．