Question

在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積V；
（2）若F為PC的中點(diǎn)，求證PC⊥平面AEF；
（3）求證CE∥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出BC、AC、CD，由 SABCD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•CD 求得底面的面積，
代入體積公式進(jìn)行運(yùn)算．
（2）證明AF⊥PC，再由CD⊥平面PAC 證明CD⊥PC，由EF∥CD，可得PC⊥EF，從而得到PC⊥平面AEF．
（3）延長DC，AB，設(shè)它們交于點(diǎn)N，證明EC是三角形DPN的中位線，可得EC∥PN，從而證明EC∥平面PAB．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC=

3

，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠ACD=60°，∴CD=2

3

，AD=4．
∴SABCD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•CD=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

=

5

2

3

．
則V=

1

3

×

5

2

3

×2=

5

3

3

．
（2）證明：∵PA=CA，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC．
∵E為PD中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，∴EF∥CD，則EF⊥PC，∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．
（3）證明：延長DC，AB，設(shè)它們交于點(diǎn)N，連PN．∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，
∴C為ND的中點(diǎn)．∵E為PD中點(diǎn)，∴EC∥PN．∵EC?平面PAB，PN?平面PAB，
∴EC∥平面PAB．

點(diǎn)評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求棱錐的體積，證明CE∥平面PAB 是解題的難點(diǎn)．