已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O為原點.
(1)若
AC
BC
,求sin2α的值;
(2)若丨
OC
+
OA
丨=
13
,α∈(0,π),求
OB
OC
的夾角.
分析:(1)利用向量垂直,得到三角關(guān)系.(2)利用丨
OC
+
OA
丨=
13
,得到
OB
OC
的夾角.
解答:解:(1)因為A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),
所以
AC
=(cosα-3,sinα),
BC
=(cosα,sinα-3)
,
AC
BC
,所以(cosα-3,sinα)?(cosα,sinα-3)=0  (2分)
sinα+cosα=
1
3
…(4分)
則平方得2sinαcosα=sin2α=-
8
9
  …(6分)
(2)由丨
OC
+
OA
丨=
13
,α∈(0,π),平方得cosα=
1
2
,所以sinα=
3
2

即C(
1
2
3
2
),
設(shè)
OB
OC
的夾角為θ,
cosθ=
OB
?
OC
|
OB
|?|
OC
|
=
3
2
3×1
=
3
2

所以θ=
π
6

OB
OC
的夾角為
π
6
點評:本題主要考查向量數(shù)量積的基本應(yīng)用,要求熟練掌握.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A(-3,0),B(0,
3
)O為坐標原點,點C在∠AOB內(nèi),且∠AOC=60°,設(shè)
OC
=λ
OA
+
OB
(λ∈R),則λ等于(  )
A、
3
3
B、
3
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα);
(1)若
AC
BC
=-1,求sin(α+
π
4
)的值
(2)O為坐標原點,若|
OA
-
OC
|=
13
,且α∈(0,π),求
OB
OC
的夾角

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為
3
5
,焦點坐標分別為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0).
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)已知A(-3,0),B(3,0),P是橢圓C上異于A、B的任意一點,直線AP、BP分別交y軸于M、N,求
OM
ON
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα).
(1)若|
OA
+
OC
|=
13
,且α∈(0,π),求
OB
OC
夾角的大小;
(2)若(
OA
+2
OB
)⊥
OC
,求cos2α.

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