Question

設(shè)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-（x-2）²+2．
（1）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（2）在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象；
（3）若方程f（x）-k=0有四個(gè)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x＜0，則-x＞0，代入解析式，利用偶函數(shù)的性質(zhì)得x＜0的解析式；
（2）畫(huà)出圖象；
（3）結(jié)合（2），觀(guān)察y=k與f（x）的圖象使它們有四個(gè)交點(diǎn)即可．

解答： 解：（1）令x＜0，則-x＞0，所以f（-x）=-（-x-2）²+2=-（x+2）²+2．
所以函數(shù)f（x）在R上的解析式為：
f(x)=

-(x-2)2+2，x≥0 -(x+2)2+2，x＜0

…（4分）
（2）在直角坐標(biāo)系中函數(shù)f（x）的圖象如下：
…（8分）
（3）結(jié)合（2）的圖象，要使方程f（x）-k=0有四個(gè)解，只要y=k與f（x）的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，如圖，

所以k的取值范圍是（-2，2）；…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了偶函數(shù)解析式的求法以及圖象的畫(huà)法和利用數(shù)形結(jié)合判斷方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是正確畫(huà)圖、視圖，屬于中檔題．