Question

4．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，公比q=2，設(shè)T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}+$…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}，n∈{N}^{*}$，則下列判斷正確的是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$＜T_n≤$\frac{2}{3}$
• B． T_n＞$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$≤T_n＜$\frac{2}{3}$．
• D． T_n≥$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 運用等比數(shù)列的通項公式和求和公式，可得T_n=$\frac{2}{3}$[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ]，T_n是關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)．可得最小值，再由不等式的性質(zhì)，即可得到所求和的范圍．

解答 解：a₁=1，公比q=2，可得a_n=2^n-1，
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}•{2}^{n}}$=$\frac{2}{{4}^{n}}$
可得T_n=2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$）=2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}$[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ]，
T_n是關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)n=1時，T₁=$\frac{1}{2}$；當(dāng)n→+∞時，T_n→$\frac{2}{3}$，
可得$\frac{1}{2}$≤T_n＜$\frac{2}{3}$．
故選C．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，同時考查數(shù)列的單調(diào)性的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．