Question

（2012•湖北模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（S_n≠0），且an+2SnSn-1=0(n≥2，n∈N*)，a1=

1

2

．
（1）求證：{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（2）求a_n；
（3）若bn=

2(1-n)

n+2

an(n≥2)，求b2+…+b10．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2S_nS_n-1=0，n≥2，可得S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，變形得

1

S   n

-

1

Sn-1

=2，由此得出結(jié)論．
（2）由于當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

1

2

，由此可得a_n ．
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，bn=

2(1-n)

n+2

an=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），用裂項(xiàng)法求出b₂+…+b₁₀的值．

解答：解：（1）∵a_n+2S_nS_n-1=0，n≥2，∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，∴

1

S   n

-

1

Sn-1

=2．
∴{

1

Sn

}是首項(xiàng)為

1

S1

=

1

a1

=2，公差等于2的等差數(shù)列．（4分）
∴

1

Sn

=2+(n-1)×2=2n，∴Sn=

1

2n

．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

1

2

，∴

an= 1 2 n=1 - 1 2n(n-1) n≥2

．（8分）
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，bn=

2(1-n)

n+2

an=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
則 b₂+…+b₁₀=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

10

-

1

12

 ）=

1

2

（

1

2

+

1

3

-

1

11

-

1

12

）=

87

264

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差關(guān)系的確定，用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于中檔題．